背景介紹 

雖然我們先學(xué)習的是傅里葉變換，但是實(shí)際上我先說(shuō)的是拉普拉斯變換，原因有二，首先是拉普拉斯變換更多的只是一種數學(xué)變換，相對理解更為單純，另外拉普拉斯比傅里葉年長(cháng)19歲，先出生的。所以拉普拉斯變換實(shí)際上出現時(shí)間早。

1. 1.什么是拉普拉斯變換

   拉普拉斯變換本質(zhì)上是一個(gè)數學(xué)工具，屬于一種積分變換，即將時(shí)域t的信號，轉變成了復數域s的信號。因此，拉氏系統仍然是時(shí)域系統，解決的問(wèn)題也是t的問(wèn)題。

   從邵博士看來(lái)，拉普拉斯巧妙解決了對于信號和系統的數學(xué)描述。

2. 2.信號與系統

   一個(gè)信號的性質(zhì)，可以很清晰地用關(guān)于t 的函數x(t)來(lái)展現出來(lái)，這是老百姓們喜聞樂(lè )見(jiàn)的。但是問(wèn)題來(lái)了，一個(gè)例如電阻、電感和電容組成的系統，該如何描述呢？一個(gè)信號進(jìn)入了系統之后的結果，又如何描述呢？

   拉普拉斯是這么考慮的：

   1.	信號x(t)通過(guò)拉普拉斯變換，可以轉換成X(s)。
   2.	一個(gè)系統，如果用一個(gè)沖擊函數δ(t)作為輸出，這個(gè)系統的輸出G(t)進(jìn)行拉普拉斯變換，就成為這個(gè)系統的所謂系統函數G(s)。
   3.	信號X(s)經(jīng)過(guò)系統G(s)之后的輸出是Y(s) =X(s)G(s)，其反變換y(t)就是輸出信號。

   總結來(lái)說(shuō)，在拉普拉斯看來(lái)，信號和系統的本質(zhì)是一樣的，都是用s的一串描述。一個(gè)任何信號X(s)經(jīng)過(guò)系統G(s)，和一個(gè)信號G(s)經(jīng)過(guò)系統X(s)，結果是完全一致的。從觀(guān)察者來(lái)說(shuō)，信號和系統沒(méi)有區別?；蛘哒f(shuō)“信號即系統，系統即信號”。

   

   皮埃爾-西蒙 拉普拉斯 Pierre-Simon Laplace 1749 ~ 1827

   拉普拉斯做了很多事情，研究了概率論，做過(guò)拿破侖的老師。但是他最大的貢獻是讓很多21世紀的電氣專(zhuān)業(yè)學(xué)生生活在拉普拉斯變換的恐懼中。

3. 3.一階系統分析

   假設有一個(gè)一階系統：

   

   我們現在要考察一個(gè)階躍信號x(t) = ε(t)進(jìn)入這個(gè)系統之后的輸出是啥樣子，該如何做呢？

   3.1 數學(xué)計算

   如果用數學(xué)計算的方法，那么首先計算階躍信號ε(t)的拉普拉斯變換，可以得到：

   

   這樣系統的輸出為：

   

   對輸出進(jìn)行拉普拉斯反變換，可以得到：

   

   這個(gè)時(shí)域信號在t = 0的時(shí)候是0，在t = +∞的時(shí)候是1。

   3.2 Matlab仿真結果

   為了有更好地直觀(guān)的感受，可以考察一下如圖表 2的階躍系統仿真。

   

   圖表 2 Matlab的一階系統階躍仿真模型

   

   圖表 3 一階系統階躍仿真結果

   這個(gè)系統函數為  的系統又稱(chēng)為“一階低通濾波器”，當然，最終講清楚這件事情的是還沒(méi)有登場(chǎng)的傅里葉。一階系統可以是一階低通濾波器，也可以是一階高通濾波器。其中一階低通濾波器最為常見(jiàn)，因此本文主要講低通濾波器。直觀(guān)地說(shuō)，一階低通濾波器就是將信號變化的速度變緩慢，從一個(gè)鋒銳的階躍變成緩慢的上升。

   3.3 一階低通濾波器的時(shí)間常數

   不失一般性，我們給出一個(gè)一階低通濾波器的最常見(jiàn)的狀態(tài)：

   

   參照3.1的方法，可以得到其階躍響應為：

   

   其中T就是一階低通濾波器的時(shí)間常數。很顯然，t越大，y(t)約接近于1。這個(gè)t的時(shí)間用時(shí)間常數T來(lái)衡量最合適不過(guò)。

   從表格 1可以看到，當t = 3T時(shí)，y(t)達到了最終穩定值的95.0%（3T原理），當t = 5T時(shí)，y(t)達到了最終穩定值的99.3%（5T原理）。

   

   表格 1 一階系統時(shí)間常數計算

   從圖表 3也可以清晰地觀(guān)察到3T原理和5T原理的結果。

   3.4 一階低通濾波器的應用

   

   圖表 4 經(jīng)過(guò)一階低通濾波器的輸入和輸出（左圖為輸入，右圖為輸出）

    

   這里討論一階低通濾波器的一種應用。左圖為一階低通濾波器的信號輸入，在1s的時(shí)候，有一個(gè)長(cháng)度為100ms的有用脈沖信號進(jìn)入，在1.19s時(shí)，有一個(gè)長(cháng)度為0.1ms的干擾信號進(jìn)入。

   系統希望對有用信號進(jìn)行動(dòng)作，但是想消除干擾信號的影響。為了這個(gè)目的，構筑一個(gè)低通濾波器：

   

   用圖表 5所示的仿真模型，可以得到圖表 4右圖的結果?？梢钥吹?，有用信號幾乎沒(méi)有太大的影響，而無(wú)用的信號由于時(shí)間寬度太窄，幾乎被消滅不見(jiàn)了。

   這種濾波器的設計，關(guān)鍵在于時(shí)間常數T。時(shí)間常數T越大，則有用信號的失真越大，但是對干擾的抑制越明顯。

   

   圖表 5 仿真模型

   賽思億至少在2個(gè)地方使用了上述的概念：

   ① PPB的光電編碼器濾波硬件電路設計。光電編碼器的輸出使用低通濾波器可以有效地減少干擾對信號的影響，特別是z通道的信號。但是需要注意的是，隨著(zhù)轉速的升高以及分辨率的上升，有用信號脈沖寬度變窄，則時(shí)間常數T需要適當降低。

   ② PLC中的對于DI信號輸入的濾波調整，采用軟件的方式構筑低通濾波器來(lái)消除可能的干擾導致的DI誤響應。

   3.5 二級系統響應

   看完了一階系統響應，我們來(lái)瞅瞅二階系統響應。假設系統函數分別為：

           和         

   兩者的階躍響應可以從圖表 6看出一些端倪。G1(s)的階躍響應出現了超調，而G2(s)的階躍響應和一階系統的階躍響應類(lèi)似，只不過(guò)更慢。

   

   圖表 6 G1(s)和G2(s)的階躍響應

    

   二階系統和一階系統不同的是，一階系統永遠是穩定的，而二階系統有可能是振蕩的，可能是穩定但是具有超調，也可能是穩定但是沒(méi)有超調，要復雜的多。

   所以教科書(shū)里面，往往會(huì )針對不同的二級系統，定義所謂的“振蕩系統”、“無(wú)阻尼系統”、“欠阻尼系統”、“臨界阻尼系統”和“過(guò)阻尼系統”等等。這些分析就不展開(kāi)了?？傊畞?lái)說(shuō)，二級系統更加復雜。

4. 4.系統函數有什么用

   現在簡(jiǎn)單展開(kāi)一下，系統函數或者說(shuō)拉普拉斯變換還有哪些用處呢？由于系統函數本質(zhì)上是對一個(gè)系統進(jìn)行了一個(gè)深度的數學(xué)描述，因此最大的優(yōu)勢就是可以用數學(xué)的計算定量地考察一個(gè)系統的性能。特別的，可以用來(lái)考察一個(gè)系統的穩定性。

   系統的穩定性，經(jīng)典控制系統用所謂的極點(diǎn)來(lái)分析。一個(gè)控制系統，首先要追求整體系統的穩定性，一般采用閉環(huán)傳遞函數來(lái)表達。事實(shí)上閉環(huán)傳遞函數在控制器設計出來(lái)之前并不知道，所以一般采分析分析開(kāi)環(huán)傳遞函數的零極點(diǎn)，就可以知道控制的主要參數設計。這時(shí)候，一些經(jīng)典的工具，類(lèi)似根軌跡法、奈奎斯特曲線(xiàn)法和羅素判據啥的就出來(lái)了，其實(shí)沒(méi)有啥實(shí)際工程作用。

   我們花了精力解釋了一下一階系統和二階系統。實(shí)際上，很多系統都是高階的，但是只要關(guān)注最右邊的極點(diǎn)，一般高階系統都可以湊湊合合近似成一階系統或者二階系統。

   然而這些系統通常仍然不實(shí)用，因為上面所有描述的系統都屬于“線(xiàn)性時(shí)不變系統”，那些不屬于線(xiàn)性時(shí)不變系統都屬于超綱題了，考試不考的?？上У氖?，絕大部分的系統都是這種討厭的非線(xiàn)性系統，一般來(lái)說(shuō)，要定性分析這些非線(xiàn)性系統就很難了，更不要說(shuō)什么零極點(diǎn)了。如果一定要分析，那么就會(huì )用小信號模型等方法進(jìn)行線(xiàn)性化處理。這里不多扯淡了，因為邵博士認為小信號模型方法本身就沒(méi)啥用。

    

 邵博士小結 

本文給了幾個(gè)基本概念：信號、系統、以及描述系統的傳遞函數。

拉普拉斯變換，完成了從時(shí)域信號和系統函數的統一。

在我們看來(lái)，一個(gè)波形信號進(jìn)入了一個(gè)濾波器，輸出得到了另一個(gè)信號。

在拉普拉斯看來(lái)，波形信號經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換是函數，濾波器特性經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換也是函數，兩者沒(méi)有任何區別，這也是“信號即系統，系統即信號”的原因，而兩個(gè)函數的乘積得出了輸出信號。

這樣的變換和描述，竟然是一個(gè)普世不變的真理，這個(gè)就是信號與系統專(zhuān)業(yè)的基礎和奧秘。

在我看來(lái)：“這個(gè)變換不光給我的大學(xué)生涯平添了很多煩惱，同時(shí)也是我們電控世界的無(wú)上利器，而且他絕對公平，用的好不好就看我們自己。”